Conversion d'une base quelconque vers la base 10

Définition

Pour convertir un nombre, exprimé dans une base quelconque vers la base 10,  on utilise la forme polynomiale  :

  • \((100)_{10} \equiv{} 1*10^2+0*10^1+0*10^0\)

  • \((100)_2 \equiv 1*2^2+0*2^1+0*2^0\)

  • \((85645)_9\equiv 8*9^4+5*9^3+6*9^2+4*9^1+5*9^0\)

  • \((1F2)_{16} \equiv 1*16^2 + 15*16^1 +2*16^0\)

  • \((BD0E)_{16} \equiv 11*16^3 + 13*16^2 + 0*16^1 + 14*16^0\)

  • \((0,1101)_{2} \equiv 1*2^{-1} + 1*2^{-2} + 0*2^{-3}+1*2^{-4}\)

  • \((E07,B3)_{16} \equiv 14*16^2 + 0*16^1 + 7*16^0 + 11*16^{-1} + 3*16^{-2}\)

Exemple

Soit à convertir le nombre \(N=(1011)_2\), exprimé en base 2, vers la base 10. On commence par écrire sa forme polynomiale :

  • \(N=1∗2^3+0∗2^2+1∗2^1+1∗2^0\), puis on effectue le calcul c'est-à-dire :

  • \(N=1∗8+2+1=11\). Ainsi, \(N=(1011)_2\), exprimé en base 2 donne \(N=(11)_{10}\) exprimé en base 10.

Exemple

  • \(\left(1001\right)_2 \equiv 1*2^3+ 0*2^2 +0*2^1 + 1*2^0 = (9)_{10}\)

  • \(\left(326\right)_8 \equiv 3*8^2+ 2*8^1+ 6*8^0 = (214)_{10}\)

  • \(\left(B1E2\right)_{16} \equiv 11*16^3 +1*16^2 + 14*16^1 + 2*16^0  = (45538)_{10}\)

  • \(\left(125,567\right)_8 \equiv 1*8^2+ 2*8^1+ 5*8^0+ 5*8^{-1}+ 6*8^{-2}+ 7*8^{-3} =(85,732421875)_{10}\)